Zahl: Abstraktion als gleichartig kategorisierter Gegenstände auf ein sprachliches Äquivalent ihrer minimalen Aliquotheit. Das evtl. dazugehörige Graphem, die -->Ziffer, ist dazu sekundär. – Die Fähigkeit zu dieser ziemlich anspruchsvollen Abstraktion setzt sowohl biologisch eine entsprechend leistungsfähige neuroanatomische Grundlage wie historisch eine gewisse gesellschaftliche Entwicklung voraus. Die biologische Voraussetzung wird dadurch deutlich, daß Kinder vor dem 3. Lebensjahr keinen Zahlbegriff entwickeln und daher nicht zählen lernen können; die erste als solche wahrgenommene, d.h. als Ergebnis der entsprechenden Abstraktion wahrgenommene ~ ist stets drei, von der aus die weiteren ~en dann rasch erlernt werden; eins und zwei werden dann, ähnlich wie viel später Null oder Minus-~en etc., sekundär vom mittlerweile gebildeten ~begriff erfaßt. Der Abstraktion der ~ geht also die Wahrnehmung von Strukturen voraus (z.B. »einfach« vs. »doppelt«), die an angeordnete Gegenstände gebunden ist; sie ist also etwas sehr Abgeleitetes, ganz und gar nicht »Primäres«, »Apriorisches« usw. Auf der Ebene der gesellschaftlichen Entwicklung entspricht dem die Tatsache, daß sehr ursprüngliche, primäre Jäger- und Sammlergesellschaften, insbesondere die »Buschmänner« (=»San«), überhaupt keinen ~begriff kennen; jedoch können ihre Mitglieder ihn, nicht zu hohes Alter vorausgesetzt, von denjenigen entwickelterer Gesellschaften ohne weiteres erlernen. (»Fünf« heißt bei ihnen ohne fremden Einfluß also »zwei und zwei und noch einer«.) Das zeigt im Umkehrschluß, daß die Kinder keiner Gesellschaft von sich aus, also ohne äußere Anleitung, den Begriff »drei« bzw. überhaupt ~en entwickeln würden. Die volle Entwicklung und Stabilisierung des ~begriffs wurde überhaupt erst in der späten, fortgeschrittensten Phase der sumerischen Hochkultur abgeschlossen.

Die biologische Grundlage für den Aufbau des ~begriffs ist neben dem für die Abstraktion nötigen neuronalen Apparat derjenige für die Erkennung entsprechender Strukturen. In letzterer Hinsicht ist, wie tachistoskopische Experimente zeigen, der menschliche nicht einmal der leistungsfähigste; ohne das durch Abstraktion gewonnene Hilfsmittel der ~ können Menschen fünf und sechs (sc. gleich angeordnete gleiche Punkte) sicher unterscheiden, Dohlen – die dieses Hilfsmittel ja nicht haben – in analogen Experimenten mit Anstrengung acht bis neun. Alle Völker, welche überhaupt Zahlwörter als Folge eines Zahlbegriffs entwickelt haben, taten dies aufgrund der menschlichen Fingerzahl auf der Basis zehn, von welcher aus Potenzen gebildet werden (hundert, tausend, zehntausend); nur bei den Mayas wurde dieses System (wohl durch den Einbezug der Zehen) früh von einem Zwanzigersystem überlagert. Trotzdem dauerte es sehr lange, bis sich dieses sprachlich stets vorhandene System auch in den ~zeichen niederschlug (-->Ziffer); die Existenz bzw. Koexistenz davon abweichender Zählsysteme (z.B. --->Dutzend) hatte darauf niemals einen Einfluß, »zwanzig«, »dreißig«, »hundert« (lat. viginti, triginta, centum; chin. , , [èrshí, sanshí, bai]) usw.) bedeuten überall 20, 30, 100, niemals 24, 36, 144 oder Vergleichbares. Übrigens heftet sich Aberglaube, also ein Indiz häufiger emotionaler Besetzung, niemals an die aufgrund ihrer leicht erkennbaren biologischen Grundlage »rational« oder »instrumentell« erscheinende Zehn, sehr häufig jedoch an drei (die erste als solche erlebte Zahl, vielleicht auch »unheimlich« als Zahl der für das Kind »unergründlichen« unpaarigen Körperöffnungen), sieben (immerhin der paarigen plus unpaarigen), neun (dito plus Augen, in denen man ebenfalls »pulen« kann) und zwölf; letztere Zahl nimmt aufgrund ihrer leichten Herleitbarkeit von allen durch Beweglichkeit dafür geeigneten Zählextremitäten eine emotionale Mittelstellung ein. – Auch mit anderen Zahlen hat sich Aberglauben verbunden, aber sporadischer und/oder spezifischer.

Literatur: Georges Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen, Frankfurt/New York (Campus) 1991; Jean Piaget, Gesammelte Werke, Band 3, Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kinde, Studienausgabe, Stuttgart 1975.

Alle Zahlen, für welche in jenen Sprachen, welche überhaupt echte, d.h. über »2« hinausgehende Zahlwörter enthalten, nicht-zusammengesetzte Zahlwörter existieren oder im Bedarfsfall problemlos und eindeutig gebildet werden können, heißen natürliche Zahlen (1,2,3,4,5,6 usw.). Für sie gelten die fünf Peano'schen Axiome:

Innerhalb des Bereichs (= Menge, genaugenommen der Halbgruppe bezüglich der Addition, |N) natürlicher Zahlen lassen sich alle Additionsaufgaben durchführen (somit auch alle darin ja als Spezialfälle enthaltenen Multiplikationsaufgaben und Potenzierungsaufgaben). Um auch alle Subtraktionsaufgaben durchführen zu können, wird der Bereich der natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen erweitert, d.h. diejenigen Zahlen, die, wenn alle natürlichen Zahlen in jeweils gleichem Abstand auf einem mit Null beginnenden Strahl angeordnet werden und dieser in die Gegenrichtung zu einer Zahlengeraden erweitert wird, von dessen Nullpunkt exakt den (symmetrisch) gleichen Abstand haben wie ihre absoluten Werte. Sie erhalten in diesem Fall das Vorzeichen »-« (»minus«; -4 heißt also »minus vier«).

Zahlenstrahl:
—————————————--------------------->
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 usw.
Zahlengerade: ———?——------------------------------------------------------>
12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 usw.

Alle Zahlen, deren Wert sich auf derjenigen Hälfte der Zahlengeraden auftragen läßt, welcher der negativen gegenläufig ist, heißen positive Zahlen. Die Gesamtheit aller positiven und negativen Zahlen sowie der zwischen ihnen liegenden Null, mit welchen alle Additions- und Subtraktionsaufgaben durchführbar sind, aber keine weiteren, heißen ganze Zahlen.

Damit auch alle -->Divisionsaufgaben durchführbar sind, wurden – in unterschiedlicher Schreibweise – weitere Zahlen eingeführt, die Brüche. Diese entstehen durch -->Division; ihre Schreibweise erfolgt je nach Bedarf durch die Darstellung der Divisionsaufgabe (z.B. =1:4) oder durch deren Ergebnis als Dezimalbruch (z.B. 0,25=). Als solches Divisionsergebnis zwischen natürlichen Zahlen kann entweder ein endlicher oder ein periodisch unendlicher, d.h. ein bestimmte abfallende Folge negativer Zehnerpotenzen unendlich wiederholender Dezimalbruch entstehen (z.B. 1/7=0,142857142857142857 usw. =). Alle natürlichen Zahlen und Dezimalbrüche (bzw. Ergebnisse von Divionsaufgaben im Körper Q) zusammen heißen rationale Zahlen.

Weitere Dezimalbrüche, deren unendliche Folge abfallender negativer Zehnerpotenzen keine vorhersagbarben Reihen bzw. Regelmäßigkeiten aufweist, können durch Radizieren (d.h. Ziehen der --->Wurzel) positiver Zahlen entstehen (z.B. v3, ); sie heißen dann algebraïsch irrationale Zahlen. Weitere Dezimalbrüche mit »unendlicher nicht-periodischer Verlängerung«, also weitere irrationale ~en, erhält man als Ergebnis nicht-algebraïscher Aufgaben, z.B. der Division zweier Funktionen durch einander (der Quotient des Kreisumfangs und seines Radius, welche ja beide als Funktionen darstellbar sind, ergibt die irrationale Zahl p ), durch Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens oder die -->Euler'sche Zahl. Alle diese irrationalen Zahlen, welche nicht als Wurzelausdrücke darstellbar sind, heißen transzendente irrationale Zahlen. Alle rationalen und irrationalen ~en zusammen füllen die Zahlengerade lückenlos; ihre Gesamheit heißt daher reelle Zahlen. Ihnen sind alle ~en gegenüberzustellen, die als Lösung der Gleichung entstehen, sofern n eine gerade ~ ist, d.h. welche den Faktor v-1 enthalten, also die 2. Wurzel (=Quadratwurzel) aus -1, jene Zahl, welche mit sich selbst multipliziert -1 ergäbe. (Man muß sie sich also vorstellen=imaginieren; sie heißt darum imaginäre Zahl und wird i [manchmal j] geschrieben; v-1 = i). Imaginäre ~en können z.B. als Bestandteil der Lösungen von Aufgaben auftreten, welche Funktionen zueinander in Beziehung setzen, etwa einen Kreis und eine Gerade; enthalten in diesem Fall die errechneten Koordinaten der Schnittpunkte beider Funktionen den Faktor i, so besagt das, daß die Gerade den Kreis weder schneidet noch berührt; die Koordinaten mit dem Faktor i geben uns gewissermaßen die Punkte an, wo die Gerade den Kreis schneiden würde, wenn sie ihn schneiden würde.

Alle reellen und imaginären ~en zusammen heißen komplexe Zahlen. Ersetzt man in einer Gleichung eine komplexe Zahl durch ein Symbol, z.B. einen Buchstaben, so heißen diese Symbole allgemeine Zahlen (z.B. a+b=c). Die Mengen, die von den vorgeführten Zahlengruppen gebildet werden, haben jeweils Körperstruktur und werden mit konventionellen Kürzeln bezeichnet.